球的表面积公式和体积公式及例题解析

展全思梦 2025-11-03 12:57:09

球的表面积公式和体积公式及例题解析

以下是关于球的表面积公式和体积公式及例题解析的介绍

一、球的表面积公式和体积公式

1、球的表面积

球的表面积是指球面所围成的几何体的面积，它包括球面和球面所围成的空间。

2、球的表面积公式

设球的半径为$R$，球的表面积由半径$R$唯一确定，所以它的表面积$S$是以$R$为自变量的函数，即$S_球=4πR^2$。

3、球的体积公式

$V_球=frac{4}{3}πR^3$（$R$为球的半径）。

4、球的截面圆的性质

（1）用一个平面去截球体，截面一定是圆面。

（2）球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆。

（3）设小圆的圆心为$O_1$，半径为$r$，大圆的圆心（球的球心）为$O$，半径为$R$，则有：

① $OO_1$垂直于平面$⊙O_1$。

② $R^2=r^2+d^2$，其中$d$为两圆的圆心距。

二、球的表面积的相关例题

正方体的表面积与其外接球表面积的比为___

A．1∶2

B．2∶π

C．π∶2

D．1∶3

答案：B

解析：设正方体的棱长为$a$， 不妨设$a=1$，正方体外接球的半径为$R$，则由正方体的体对角线的长就是外接球的直径的大小可知：$2R=sqrt{3}a$，即$R=frac{sqrt{3}a}{2}=frac{sqrt{3}}{2}·1=frac{sqrt{3}}{2}$。所以外接球的表面积为：$S_球=4πR^2=3π$。则正方体的表面积与其外接球表面积的比为6∶3π=2∶π 。故选B。


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